Soru Sor
Sorunu sor hemen cevaplansın.
# KÜME KAVRAMI # Küme Nedir? # Eleman ve Eleman Sayısı # KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ # Liste Yöntemi # Ortak Özellik Yöntemi # Venn Şeması # KÜMELER # Boş Küme # Evrensel Küme # Sonlu ve Sonsuz Küme # ALT KÜME # Alt Kümenin Özellikleri # Alt Küme Sayısı # Öz Alt Küme Sayısı # EŞİT KÜME # KÜMELERDE KESİŞİM VE BİRLEŞİM İŞLEMİ # Kesişim ve Birleşim İşlemlerinin Özellikleri
Tanımdaki iyi tanımlanmış, herkes tarafından aynı şekilde bilinen, belirli olan nesneler demektir. Örneğin “iyi insanlar” küme belirtmez çünkü iyi insanlar herkes için aynı değildir. Daha fazla örnek aşağıdaki tabloda verilmiştir.
ÖRNEK: A kümesi haftanın P harfi ile başlayan günleri olsun.
Pazar A kümesinin elemanıdır. → Pazar ∈ A
Salı A kümesinin elemanı değildir. → Salı ∉ A
A kümesinin eleman sayısı 3′ tür. → s(A) = 3
ÖRNEK: Rakamlar kümesini liste yöntemiyle yazalım.
Rakamlar kümesini R harfiyle isimlendirecek olursak R = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 }
ÖRNEK: MATEMATİK kelimesinin harflerini liste yöntemiyle yazalım.
Bu kümeyi M harfiyle isimlendirecek olursak M = { M, A, T, E, İ, K }
ÖRNEK: H = { #, AA, 2, 34 } kümesinin elemanlarını belirleyelim.
H kümesi 4 elemanlıdır. Bunlar #, AA, 2 ve 34’tür.
Öyle ki anlamına gelen “ | ” sembolü yerine “ : ” sembolü de kullanılabilir.
ÖRNEK: Aşağıda liste yöntemiyle verilen kümeleri ortak özellik yöntemiyle yazalım.
► A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
► B = { a, b, c, ç }
► C = { 10, 11, 12, 13 }
Kümeler ortak özellik yöntemiyle farklı şekillerde de yazılabilir. Önemli olan yazılan kümenin tam olarak (ne eksik ne fazla) kümenin elemanlarını belirtmesidir.
► A = { x | x, bir rakam }
► B = { x : x, Alfabemizin ilk dört harfinden biri }
► C = { x : 9 < x < 14 , x bir doğal sayı }
ÖRNEK: A = { a, b, c } kümesini Venn şemasıyla gösterelim.
ÖRNEK: Ç harfiyle başlayan aylar kümesine A kümesi dersek A kümesi boş küme olur.
Bu durum A = { } ya da A = ∅">∅∅ şeklinde gösterilir ve s(A) = 0 olur.
NOT: { ∅">∅∅ } ve { 0 } kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip kümelerdir.
ÖRNEK: A = { 1, 2, 3 } ve B = { 5, 12 } kümeleri için evrensel kümeler yazalım.
► E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12 }
► E = { x | x, bir doğal sayı }
► E = { x | 0 < x < 20 , x bir tam sayı }
ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerden hangilerinin sonlu hangilerinin sonsuz küme olduğunu belirleyelim.
► A = { a, b, c, ç } → A kümesi sonlu kümedir.
► B = { x | 12 < x , x bir tam sayı } → B kümesi sonsuz kümedir.
► C = { x | 1 < x < 33 , x bir doğal sayı } → C kümesi sonlu kümedir.
► D = { x | 1 < x < 33 , x bir rasyonel sayı } → D kümesi sonsuz kümedir.
A kümesinin her elemanı aynı zamanda B kümesinin de elemanı ise A kümesi B kümesinin alt kümesidir ve A ⊂">⊂⊂ B ya da A ⊆">⊆⊆ B ile gösterilir. Bu durumda B kümesi A kümesini kapsar. Bu ifade ise B ⊃">⊃⊃ A ya da B ⊇">⊇⊇ A ile gösterilir.
ÖRNEK: A = { 1, 2, 3 } ve B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } kümelerini Venn şemasıyla gösterelim.
Venn şemasında da görüldüğü gibi A kümesinin her bir elamanı B kümesinin içinde yer almaktadır. Bu durum “A kümesi B kümesinin alt kümesidir (A ⊂">⊂⊂ B) ” veya “B kümesi A kümesini kapsar, (B ⊃">⊃⊃ A) ” şeklinde ifade edilir.
A kümesinin B kümesinden farklı en az bir tane elemanı varsa A kümesi B kümesinin alt kümesi değildir ve A ⊄">⊄⊄ B ile gösterilir.
ÖRNEK: K = { a, b, c, ç } ve L = { a, d, e, f, c } kümeleri birbirinin alt kümesi değildir. K ⊄">⊄⊄ L ve aynı zamanda L ⊄">⊄⊄ K olur.
► Her küme evrensel kümenin alt kümesidir. A ⊂">⊂⊂ E
► Her küme kendisinin alt kümesidir. A ⊂">⊂⊂ A
► A, B ve C kümeleri için A ⊂">⊂⊂ B ve B ⊂">⊂⊂ C ise A ⊂">⊂⊂ C’dir.
ÖRNEK: A = { 1, 2, 3 } kümesinin tüm alt kümelerini yazalım ve alt küme sayısını bulalım.
0 elemanlı alt kümeleri 1 tanedir. → { }
1 elemanlı alt kümeleri 3 tanedir. → {1} , {2} ve {3}
2 elemanlı alt kümeleri 3 tanedir. → {1,2} , {1,3} ve {2,3}
3 elemanlı alt kümeleri 1 tanedir. → {1,2,3}
A kümesinin toplam 8 alt kümesi vardır. Bu sayı kısaca 23 = 8 şeklinde bulunabilir.
ÖRNEK: A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin öz alt küme sayısı 26 − 1 = 65 şeklinde bulunur.
ÖRNEK: K = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 } ve L = { x | x , bir rakam } kümeleri eşit kümelerdir ve bu durum K = L şeklinde gösterilir.
NOT: Eşit olmayan A ve B kümeleri A ≠">≠≠ B şeklinde gösterilir
A ve B kümelerinin kesişimi ortak özellik yöntemi ile A ∩">∩∩ B = { x | x ∈">∈∈ A ve x ∈">∈∈ B } şeklinde ifade edilir.
A ve B kümelerinin kesişim kümesi, Venn şeması ile aşağıdaki gibi gösterilir.
ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerin kesişim kümelerini bulalım.
► A = { 1, 2, 3, 4 } ve B = { 3, 4, 5, 6, 7 }
A ∩">∩∩ B = { 3, 4 }
► K = { a, b, c } ve L = { k, l, m, n, p }
K ∩">∩∩ L = { }
► P = { 1, 2, 3, 4 }, R = { 4, 5, 6 } ve S = { 2, 4, 6, 8 }
P ∩">∩∩ R ∩">∩∩ S = { 4 }
A ve B gibi iki kümenin bütün elemanlarından oluşan kümeye A ile B’nin birleşim kümesi denir ve A ∪">∪∪ B biçiminde gösterilir.
A ve B kümelerinin birleşimi ortak özellik yöntemi ile A ∪">∪∪ B = { x | x ∈">∈∈ A veya x ∈">∈∈ B } şeklinde ifade edilir.
A ve B kümelerinin birleşim kümesi, Venn şeması ile aşağıdaki gibi gösterilir.
ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerin birleşim kümelerini bulalım.
► A = { 1, 2, 3, 4 } ve B = { 3, 4, 5, 6, 7 }
A ∪">∪∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
► K = { a, b, c } ve L = { k, l, m }
K ∪">∪∪ L = { a, b, c, k, l, m }
► P = { 1, 2, 3, 4 }, R = { 4, 5, 6 } ve S = { 2, 4, 6, 8 }
P ∪">∪∪ R ∪">∪∪ S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 }
ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerin kesişim ve birleşim kümelerini bulalım.
P ∩">∩∩ R = { E, İ }
P ∪">∪∪ R = { C, L, E, İ, N, S, B }
NOT: İki kümenin birleşiminin eleman sayısı, kümelerin eleman sayıları toplamından kesişimlerinin eleman sayısı çıkarılarak bulunur.
s(A ∪">∪∪ B) = s(A) + s(B) − s(A ∩">∩∩ B)
s(P ∪">∪∪ R) = s(P) + s(R) − s(P ∩">∩∩ R)
s(P ∪">∪∪ R) = 4 + 5 − 2 = 7
ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerin kesişim ve birleşim kümelerini bulalım.
S ∩">∩∩ M = M = { 7, 51 }
S ∪">∪∪ M = S = { 7, 51, 12, 30 }
NOT: Biri diğerinin alt kümesi olan iki kümenin kesişimi kapsanan kümeye, birleşimi kapsayan kümeye eşittir.
A ⊂">⊂⊂ B ise s(A ∩">∩∩ B) = s(A) ve s(A ∪">∪∪ B) = s(B) olur.
s(M ∩">∩∩ S) = s(M) = 2
s(M ∪">∪∪ S) = s(S) = 4
ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerin kesişim ve birleşim kümelerini bulalım.
K ∩">∩∩ L = { }
K ∪">∪∪ L = { 3, 5, 7, 0, 4, 8 }
NOT: Kesişimleri boş küme olan kümelere ayrık kümeler denir. Ayrık iki kümenin birleşiminin eleman sayısı, kümelerin eleman sayıları toplamına eşittir.
A ve B ayrık kümeler ise s(A ∪">∪∪ B) = s(A) + s(B) olur.
s(K ∪">∪∪ L) = s(K) + s(L)
s(K ∪">∪∪ L) = 3 + 3 = 6
Kesişim işleminin tek kuvvet özelliği vardır.
A ∩">∩∩ A = A
Birleşim işleminin tek kuvvet özelliği vardır.
A ∪">∪∪ A = A
2) DEĞİŞME ÖZELLİĞİ
Kesişim işleminin değişme özelliği vardır.
A ∩">∩∩ B = B ∩">∩∩ A
Birleşim işleminin değişme özelliği vardır.
A ∪">∪∪ B = B ∪">∪∪ A
3) BİRLEŞME ÖZELLİĞİ
Kesişim işleminin birleşme özelliği vardır.
A ∩">∩∩ ( B
Tarih: 2019-12-29 14:18:14 Kategori: Matematik
Soru Tarat
Kitaptan sorunu tarat hemen cevaplansın.
Sorunu sor hemen cevaplansın.
9. sınıf Matematik 2. Ünite Özetleri 2019-2020 Nedir
Bu Yazıda Neler Var:
KÜME KAVRAMI
Küme Nedir?
İyi tanımlanmış birbirinden farklı nesneler topluluğuna küme denir. Kümeler A, B, C gibi büyük harflerle isimlendirilir.Tanımdaki iyi tanımlanmış, herkes tarafından aynı şekilde bilinen, belirli olan nesneler demektir. Örneğin “iyi insanlar” küme belirtmez çünkü iyi insanlar herkes için aynı değildir. Daha fazla örnek aşağıdaki tabloda verilmiştir.
Küme Belirtmez | Küme Belirtir |
---|---|
|
|
Eleman ve Eleman Sayısı
Kümeyi oluşturan her nesneye o kümenin elemanı denir. Elemanıdır sembolü ∈ ile gösterilir. Elemanı değildir sembolü ∉ ile gösterilir. Bir A kümesinin eleman sayısı sembolle s(A) şeklinde gösterilir.ÖRNEK: A kümesi haftanın P harfi ile başlayan günleri olsun.
Pazar A kümesinin elemanıdır. → Pazar ∈ A
Salı A kümesinin elemanı değildir. → Salı ∉ A
A kümesinin eleman sayısı 3′ tür. → s(A) = 3
KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ
Liste Yöntemi
Kümeye ait elemanların küme parantezi yani “{ }” şekli içerisine aralarına virgül konularak yazılmasına liste yöntemi denir. Kümenin her bir elemanı yalnızca bir kez yazılır ve elemanların yerinin değiştirmesi yeni bir küme oluşturmaz.ÖRNEK: Rakamlar kümesini liste yöntemiyle yazalım.
Rakamlar kümesini R harfiyle isimlendirecek olursak R = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 }
ÖRNEK: MATEMATİK kelimesinin harflerini liste yöntemiyle yazalım.
Bu kümeyi M harfiyle isimlendirecek olursak M = { M, A, T, E, İ, K }
ÖRNEK: H = { #, AA, 2, 34 } kümesinin elemanlarını belirleyelim.
H kümesi 4 elemanlıdır. Bunlar #, AA, 2 ve 34’tür.
Ortak Özellik Yöntemi
Kümeye ait elemanların tek tek yazılmak yerine ortak özelliklerinin yazılmasına ortak özellik yöntemi denir. Ortak özellik yöntemiyle kümelerin gösterimi şu şekildedir: { x | x’lerin ortak özelliği }Öyle ki anlamına gelen “ | ” sembolü yerine “ : ” sembolü de kullanılabilir.
ÖRNEK: Aşağıda liste yöntemiyle verilen kümeleri ortak özellik yöntemiyle yazalım.
► A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
► B = { a, b, c, ç }
► C = { 10, 11, 12, 13 }
Kümeler ortak özellik yöntemiyle farklı şekillerde de yazılabilir. Önemli olan yazılan kümenin tam olarak (ne eksik ne fazla) kümenin elemanlarını belirtmesidir.
► A = { x | x, bir rakam }
► B = { x : x, Alfabemizin ilk dört harfinden biri }
► C = { x : 9 < x < 14 , x bir doğal sayı }
Venn Şeması
Kümeye ait elemanların kapalı bir eğri içerisinde ve her elemanın başına bir nokta konularak gösterilmesine Venn şeması yöntemi denir.ÖRNEK: A = { a, b, c } kümesini Venn şemasıyla gösterelim.
KÜMELER
Boş Küme
Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme { } ya da ∅">∅∅ sembolleri ile gösterilir..ÖRNEK: Ç harfiyle başlayan aylar kümesine A kümesi dersek A kümesi boş küme olur.
Bu durum A = { } ya da A = ∅">∅∅ şeklinde gösterilir ve s(A) = 0 olur.
NOT: { ∅">∅∅ } ve { 0 } kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip kümelerdir.
Evrensel Küme
Üzerinde işlem yapılan tüm kümelere ait elemanları içinde bulunduracak şekilde seçilen kümeye evrensel küme denir. Evrensel küme E harfi ile gösterilir.ÖRNEK: A = { 1, 2, 3 } ve B = { 5, 12 } kümeleri için evrensel kümeler yazalım.
► E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12 }
► E = { x | x, bir doğal sayı }
► E = { x | 0 < x < 20 , x bir tam sayı }
Sonlu ve Sonsuz Küme
Eleman sayısı bir doğal sayı ile ifade edilebilen kümelere sonlu küme, edilemeyen kümelere sonsuz küme denir.ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerden hangilerinin sonlu hangilerinin sonsuz küme olduğunu belirleyelim.
► A = { a, b, c, ç } → A kümesi sonlu kümedir.
► B = { x | 12 < x , x bir tam sayı } → B kümesi sonsuz kümedir.
► C = { x | 1 < x < 33 , x bir doğal sayı } → C kümesi sonlu kümedir.
► D = { x | 1 < x < 33 , x bir rasyonel sayı } → D kümesi sonsuz kümedir.
ALT KÜME
A kümesinin her elemanı aynı zamanda B kümesinin de elemanı ise A kümesi B kümesinin alt kümesidir ve A ⊂">⊂⊂ B ya da A ⊆">⊆⊆ B ile gösterilir. Bu durumda B kümesi A kümesini kapsar. Bu ifade ise B ⊃">⊃⊃ A ya da B ⊇">⊇⊇ A ile gösterilir.
ÖRNEK: A = { 1, 2, 3 } ve B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } kümelerini Venn şemasıyla gösterelim.
Venn şemasında da görüldüğü gibi A kümesinin her bir elamanı B kümesinin içinde yer almaktadır. Bu durum “A kümesi B kümesinin alt kümesidir (A ⊂">⊂⊂ B) ” veya “B kümesi A kümesini kapsar, (B ⊃">⊃⊃ A) ” şeklinde ifade edilir.
A kümesinin B kümesinden farklı en az bir tane elemanı varsa A kümesi B kümesinin alt kümesi değildir ve A ⊄">⊄⊄ B ile gösterilir.
ÖRNEK: K = { a, b, c, ç } ve L = { a, d, e, f, c } kümeleri birbirinin alt kümesi değildir. K ⊄">⊄⊄ L ve aynı zamanda L ⊄">⊄⊄ K olur.
Alt Kümenin Özellikleri
► Boş küme her kümenin alt kümesidir. ∅⊂">∅⊂∅⊂ A► Her küme evrensel kümenin alt kümesidir. A ⊂">⊂⊂ E
► Her küme kendisinin alt kümesidir. A ⊂">⊂⊂ A
► A, B ve C kümeleri için A ⊂">⊂⊂ B ve B ⊂">⊂⊂ C ise A ⊂">⊂⊂ C’dir.
Alt Küme Sayısı
Eleman sayısı n olan bir kümenin alt küme sayısı 2n dir.ÖRNEK: A = { 1, 2, 3 } kümesinin tüm alt kümelerini yazalım ve alt küme sayısını bulalım.
0 elemanlı alt kümeleri 1 tanedir. → { }
1 elemanlı alt kümeleri 3 tanedir. → {1} , {2} ve {3}
2 elemanlı alt kümeleri 3 tanedir. → {1,2} , {1,3} ve {2,3}
3 elemanlı alt kümeleri 1 tanedir. → {1,2,3}
A kümesinin toplam 8 alt kümesi vardır. Bu sayı kısaca 23 = 8 şeklinde bulunabilir.
Öz Alt Küme Sayısı
Bir kümenin kendisi hariç alt kümelerine öz alt kümeleri denir. n elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı 2n − 1ÖRNEK: A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin öz alt küme sayısı 26 − 1 = 65 şeklinde bulunur.
EŞİT KÜME
Elemanları aynı olan kümelere eşit küme denir. A ve B kümelerinin eşitliği A = B ile gösterilir.ÖRNEK: K = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 } ve L = { x | x , bir rakam } kümeleri eşit kümelerdir ve bu durum K = L şeklinde gösterilir.
NOT: Eşit olmayan A ve B kümeleri A ≠">≠≠ B şeklinde gösterilir
KÜMELERDE KESİŞİM VE BİRLEŞİM İŞLEMİ
A ve B gibi iki kümenin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B’nin kesişim kümesi denir ve A ∩">∩∩ B biçiminde gösterilir.A ve B kümelerinin kesişimi ortak özellik yöntemi ile A ∩">∩∩ B = { x | x ∈">∈∈ A ve x ∈">∈∈ B } şeklinde ifade edilir.
A ve B kümelerinin kesişim kümesi, Venn şeması ile aşağıdaki gibi gösterilir.
ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerin kesişim kümelerini bulalım.
► A = { 1, 2, 3, 4 } ve B = { 3, 4, 5, 6, 7 }
A ∩">∩∩ B = { 3, 4 }
► K = { a, b, c } ve L = { k, l, m, n, p }
K ∩">∩∩ L = { }
► P = { 1, 2, 3, 4 }, R = { 4, 5, 6 } ve S = { 2, 4, 6, 8 }
P ∩">∩∩ R ∩">∩∩ S = { 4 }
A ve B gibi iki kümenin bütün elemanlarından oluşan kümeye A ile B’nin birleşim kümesi denir ve A ∪">∪∪ B biçiminde gösterilir.
A ve B kümelerinin birleşimi ortak özellik yöntemi ile A ∪">∪∪ B = { x | x ∈">∈∈ A veya x ∈">∈∈ B } şeklinde ifade edilir.
A ve B kümelerinin birleşim kümesi, Venn şeması ile aşağıdaki gibi gösterilir.
ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerin birleşim kümelerini bulalım.
► A = { 1, 2, 3, 4 } ve B = { 3, 4, 5, 6, 7 }
A ∪">∪∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
► K = { a, b, c } ve L = { k, l, m }
K ∪">∪∪ L = { a, b, c, k, l, m }
► P = { 1, 2, 3, 4 }, R = { 4, 5, 6 } ve S = { 2, 4, 6, 8 }
P ∪">∪∪ R ∪">∪∪ S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 }
ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerin kesişim ve birleşim kümelerini bulalım.
P ∩">∩∩ R = { E, İ }
P ∪">∪∪ R = { C, L, E, İ, N, S, B }
NOT: İki kümenin birleşiminin eleman sayısı, kümelerin eleman sayıları toplamından kesişimlerinin eleman sayısı çıkarılarak bulunur.
s(A ∪">∪∪ B) = s(A) + s(B) − s(A ∩">∩∩ B)
s(P ∪">∪∪ R) = s(P) + s(R) − s(P ∩">∩∩ R)
s(P ∪">∪∪ R) = 4 + 5 − 2 = 7
ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerin kesişim ve birleşim kümelerini bulalım.
S ∩">∩∩ M = M = { 7, 51 }
S ∪">∪∪ M = S = { 7, 51, 12, 30 }
NOT: Biri diğerinin alt kümesi olan iki kümenin kesişimi kapsanan kümeye, birleşimi kapsayan kümeye eşittir.
A ⊂">⊂⊂ B ise s(A ∩">∩∩ B) = s(A) ve s(A ∪">∪∪ B) = s(B) olur.
s(M ∩">∩∩ S) = s(M) = 2
s(M ∪">∪∪ S) = s(S) = 4
ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerin kesişim ve birleşim kümelerini bulalım.
K ∩">∩∩ L = { }
K ∪">∪∪ L = { 3, 5, 7, 0, 4, 8 }
NOT: Kesişimleri boş küme olan kümelere ayrık kümeler denir. Ayrık iki kümenin birleşiminin eleman sayısı, kümelerin eleman sayıları toplamına eşittir.
A ve B ayrık kümeler ise s(A ∪">∪∪ B) = s(A) + s(B) olur.
s(K ∪">∪∪ L) = s(K) + s(L)
s(K ∪">∪∪ L) = 3 + 3 = 6
Kesişim ve Birleşim İşlemlerinin Özellikleri
1) TEK KUVVET ÖZELLİĞİKesişim işleminin tek kuvvet özelliği vardır.
A ∩">∩∩ A = A
Birleşim işleminin tek kuvvet özelliği vardır.
A ∪">∪∪ A = A
2) DEĞİŞME ÖZELLİĞİ
Kesişim işleminin değişme özelliği vardır.
A ∩">∩∩ B = B ∩">∩∩ A
Birleşim işleminin değişme özelliği vardır.
A ∪">∪∪ B = B ∪">∪∪ A
3) BİRLEŞME ÖZELLİĞİ
Kesişim işleminin birleşme özelliği vardır.
A ∩">∩∩ ( B
Tarih: 2019-12-29 14:18:14 Kategori: Matematik
Kitaptan sorunu tarat hemen cevaplansın.
Yorum Yapx